Question

2．已知f（x）=x³-3x+2m，在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，3}]$上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，則m的取值范圍是（　�。�

• A． m＞6
• B． m＞9
• C． m＞11
• D． m＞12

Answer 1

分析 三角形的邊長(zhǎng)為正數(shù)，而且任意兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形，故只需求出函數(shù)在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，3}]$上的最小值與最大值，從而可得不等式，即可求解．

解答 解：由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0得到x₁=1，x₂=-1（舍去）
∵函數(shù)的定義域?yàn)?[{\frac{1}{3}，3}]$，
∴函數(shù)在（$\frac{1}{3}$，1）上f′（x）＜0，（1，3）上f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，3）單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（1）=2m-2，f（3）=2m+18，f（$\frac{1}{3}$）=2m-$\frac{26}{27}$，f（3）＞f（$\frac{1}{3}$），f（x）_max=f（3）=2m+18
由題意知，f（1）=2m-2＞0  ①；
f（1）+f（1）＞f（3），即-4+4m＞18+2m②
由①②得到m＞11為所求．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]上的最小值與最大值，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．