Question

已知向量

a

=（2cosωx，2），

b

=（2cos（ωx+

π

6

），0）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的圖象與直線y=-2+

3

的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（I）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及二倍角公式和兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由余弦函數(shù)的周期和單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到；
（II）由圖象變換的特點(diǎn)，可得y=g（x），令g（x）=0，求得零點(diǎn)，每個(gè)周期恰有2個(gè)零點(diǎn)，要恰有6個(gè)零點(diǎn)，則b不小于6個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．

解答： 解：（I）由于向量

a

=（2cosωx，2），

b

=（2cos（ωx+

π

6

），0）（ω＞0），
f（x）=

a

•

b

=4cosωxcos（ωx+

π

6

）=4cosωx（

3

2

cosωx-

1

2

sinωx）
=2

3

•

1+cos2ωx

2

-sin2ωx，
即有f(x)=2cos(2ωx+

π

6

)+

3

，
由題意得T=π，所以ω=1，所以f(x)=2cos(2x+

π

6

)+

3

，
由2x+

π

6

∈[2kπ-π，2kπ]，解得x∈[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，
又x∈[0，2π]，則所求單調(diào)增區(qū)間為[

5π

12

，

11π

12

]和[

17π

12

，

23π

12

]；              
（II）由題意得y=g(x)=2cos2x+

3

，
令g（x）=0得x=kπ+

5π

12

或x=kπ+

7π

12

，k∈Z，
每個(gè)周期恰有2個(gè)零點(diǎn)，要恰有6個(gè)零點(diǎn)，
則b不小于6個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，
即bmin=2π+

7π

12

=

31π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角公式和兩角和的余弦公式的運(yùn)用，主要考查余弦函數(shù)的周期公式和單調(diào)性和圖象變換，以及零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．