Question

11．雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）與拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$有一個(gè)公共焦點(diǎn)F，雙曲線上過點(diǎn)F且垂直于y軸的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點(diǎn)，可得雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用過點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出a，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）．
令y=2，代入雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，
∴x=±b$\sqrt{\frac{4}{{a}^{2}}-1}$，
∵過點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴2b$\sqrt{\frac{4}{{a}^{2}}-1}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
且a²+b²=4，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求弦長是關(guān)鍵．