Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按如下路線運動：A→B→C→D→E→A→D，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，則下列判斷中：
①當(dāng)P為BC的中點時λ+μ=2；  
②滿足λ+μ=1的點P恰有三個；
③λ+μ的最大值為3；  
④若滿足λ+μ=k的點P有且只有兩個，則k∈（1，3）．
正確判斷的序號是

 

．（請寫出所有正確判斷的序號）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ）．
①：點P為BC的中點，

λ-μ=1 μ= 1 2

，解得λ，μ，即可判斷出正誤；
②：點P與B重合，點P為AD的中點，點P為E點，都滿足λ+μ=1，即可判斷出正誤；
③：分類討論：當(dāng)P∈AB時，當(dāng)P∈BC時，當(dāng)P∈CD時，當(dāng)P∈AD時，當(dāng)P∈EA時，當(dāng)P∈DE時，即可得出：λ+μ的范圍，即可判斷出正誤；．
④：由③知，若滿足λ+μ=k的點P有且只有兩個，則k∈[1，3]．即可判斷出正誤．

解答： 解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ）．
對于①：∵點P為BC的中點，

λ-μ=1 μ= 1 2

，解得λ=

3

2

，μ=

1

2

，∴λ+=μ=2，故①正確；
對于②：當(dāng)λ=1，μ=0時，

AP

=（1，0），此時點P與B重合，滿足λ+μ=1，
當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時，

AP

=（0，

1

2

），此時點P為AD的中點，滿足λ+μ=1，
若λ=0，μ=1，則

AP

=

AE

，此時點P為E點，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點有且只有三個，故②正確；
對于③：當(dāng)P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
當(dāng)P∈EA時，有λ=0，0≤μ≤1，故0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈DE時，有-1≤λ-μ≤0，μ=1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確．
對于④：由③知，若滿足λ+μ=k的點P有且只有兩個，則k∈[1，3]．故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了向量的線性運算、向量坐標的理解與應(yīng)用，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．