Question

6．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+4x，
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求f（0）=0，再設(shè)x＜0，由奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x），利用x＞0時(shí)的表達(dá)式求出x＜0時(shí)函數(shù)的表達(dá)式．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，可得-1＜a-2≤2，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x），
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-x²-4x，
∴f（x）=-f（-x）=-（-x²-4x）=x²+4x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{-{x}^{2}+4x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，
∴-1＜a-2≤2，
∴1＜a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是利用原點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系解題．