Question

1．若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，A₁，A₂分別為橢圓C₁的左右頂點(diǎn)，橢圓C₂以線段A₁A₂為短軸且與橢圓C₁為“相似橢圓”
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C₂上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C₁于H，求證：H為△PA₁A₂的垂心（垂心為三角形三條高的交點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為：e=$\sqrt{1-\frac{3}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．設(shè)橢圓C₂的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），b=$\sqrt{6}$，利用兩個(gè)橢圓“相似”，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{1-\frac{6}{{a}^{2}}}$，解得a²，即可得出．
（2）設(shè)P（m，n），則$\frac{{n}^{2}}{12}+\frac{{m}^{2}}{6}$=1．把x=m代入橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得H$（m，\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}）$．要證明H為△PA₁A₂的垂心，只要證明${k}_{{A}_{1}H}$$•{k}_{P{A}_{2}}$=-1即可．

解答 （1）解：橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為：e=$\sqrt{1-\frac{3}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)橢圓C₂的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），b=$\sqrt{6}$，
∵兩個(gè)橢圓“相似”，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{1-\frac{6}{{a}^{2}}}$，解得a²=12．
∴橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{6}=1$．
（2）證明：設(shè)P（m，n），則$\frac{{n}^{2}}{12}+\frac{{m}^{2}}{6}$=1．
把x=m代入橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：y=$\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}$．
∴H$（m，\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}）$．
∴${k}_{{A}_{1}H}$=$\frac{\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{m+\sqrt{6}}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m-\sqrt{6}}$，
∴${k}_{{A}_{1}H}$$•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{m+\sqrt{6}}$×$\frac{n}{m-\sqrt{6}}$=$\frac{n\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{{m}^{2}-6}$=-$\frac{n}{\sqrt{2}\sqrt{6-{m}^{2}}}$=-1，
∴A₁H⊥PA₂．
∴H為△PA₁A₂的垂心．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、相互垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．