Question

【題目】如圖,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四邊形ABEF為平行四邊形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)求證:AE⊥平面ABCD;

(2)求平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2).

【解析】

（1）在平行四邊形中求得的長，用勾股定理逆定理證明，然后由面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直；

（2）以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面法向量，由法向量夾角得二面角．

(1)證明:∵四邊形ABEF為平行四邊形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,

∴AE,

∴AB2+AE2=BE2,∴AB⊥AE,

∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB.

∴AE⊥平面ABCD.

(2)解:∵四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,

∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,0,),F(﹣1,0,),C(1,2,0),D(0,3,0),

(1,0,0),(2,2,),

設(shè)平面FCD的法向量(x,y,z),

則,取y,得(0,,2),

平面ABEF的法向量(0,1,0),

設(shè)平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的平面角為θ,

則cosθ.

∴平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的余弦值為.