【題目】已知f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)-x在R上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)設(shè)g(x)=log4(a2x-a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)k=- (2)見證明;(3) (1,+∞)∪{-3}
【解析】
(1)由偶函數(shù)的定義可得f(-x)=f(x),結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì),解方程可得所求值;
(2)函數(shù)h(x)=f(x)-x=log4(4x+1)-x在R上遞減,運用單調(diào)性的定義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可證明;
(3)由題意可得log4(4x+1)-x=log4(a2x-a)有且只有一個實根,可化為2x+2-x=a2x-a,即有a=,化為a-1=,運用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求范圍.
(1)f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù),
可得f(-x)=f(x),即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
即有l(wèi)og4=2kx,可得,即
由x∈R,可得;
(2)函數(shù)h(x)=f(x)-x=log4(4x+1)-x在R上遞減,
理由:設(shè)x1<x2,則h(x1)-h(x2)=log4(4x1+1)-x1-log4(4x2+1)+x2
=log4(4-x1+1)-log4(4-x2+1),
由x1<x2,可得-x1>-x2,可得log4(4-x1+1)>log4(4-x2+1),
則h(x1)>h(x2),即y=f(x)-x在R上遞減;
(3)g(x)=log4(a2x-a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點,
即為log4(4x+1)-x=log4(a2x-a)有且只有一個實根,
可化為2x+2-x=a2x-a,
即有a=,化為a-1=,
可令t=1+2x(t>1),則2x=,
則a-1==,
由9t+-34在(1,)遞減,(,+∞)遞增,
可得9t+-34的最小值為2-34=-4,
當a-1=-4時,即a=-3滿足兩圖象只有一個交點;
當t=1時,9t+-34=0,可得a-1>0時,即a>1時,兩圖象只有一個交點,
綜上可得a的范圍是(1,+∞)∪{-3}.
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【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.
(1)求證:AB平面SAD;
(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值;
(3)點E,F分別為線段BC,SB上的一點,若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值;
(3)若正實數(shù)滿足,證明:.
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【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點,C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點A在第一象限,且,求點A的坐標;
(3)求證:原點到直線AB的距離為定值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四邊形ABEF為平行四邊形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.
(1)求證:AE⊥平面ABCD;
(2)求平面ABEF與平面FCD所成銳二面角的余弦值.
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【題目】如題所示:扇形ABC是一塊半徑為2千米,圓心角為60°的風景區(qū),P點在弧BC上,現(xiàn)欲在風景區(qū)中規(guī)劃三條三條商業(yè)街道PQ、QR、RP,要求街道PQ與AB垂直,街道PR與AC垂直,直線PQ表示第三條街道。
(1)如果P位于弧BC的中點,求三條街道的總長度;
(2)由于環(huán)境的原因,三條街道PQ、PR、QR每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元,問:這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少?(精確到1萬元)
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【題目】如圖,在三棱錐中,底面,.點、、分別為棱、、的中點,是線段的中點,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知點在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求線段的長.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問是否存在,使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓,由三個半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個內(nèi)切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發(fā)現(xiàn)被分隔的這兩塊的內(nèi)切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若,則陰影部分與最大半圓的面積比為( )
A.B.
C.D.
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