Question

在各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且(1+

ak

ak+3

)(1+

ak+1

ak+2

)=2，k∈N^*，則a₉的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：a₁=1，a₂=2，且(1+

ak

ak+3

)(1+

ak+1

ak+2

)=2，k∈N^*，取k=1，則(1+

a1

a4

)(1+

a2

a3

)=2，即(1+

1

a4

)(1+

2

a3

)=2，由于各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}，
不妨取a₃=3，可得(1+

1

a4

)×

5

3

=2，可得a₄=5；依此類推即可得出．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，且(1+

ak

ak+3

)(1+

ak+1

ak+2

)=2，k∈N^*，
取k=1，則(1+

a1

a4

)(1+

a2

a3

)=2，即(1+

1

a4

)(1+

2

a3

)=2，
∵各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}，
∴不妨取a₃=3，可得(1+

1

a4

)×

5

3

=2，可得a₄=5；
于是(1+

2

a5

)(1+

3

5

)=2，可得a₅=8，
依此類推可得：a₆=13，a₇=21，a₈=34，a₉=55．
故答案為：55．

點(diǎn)評：本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．