已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，滿(mǎn)足2f（x1）•f（x2）=f（x1+x2）+f（x1-x2）且f（0）≠0，則f（0）=
1
1
，此函數(shù)為
偶
偶
函數(shù)（填奇偶性）．
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的對(duì)應(yīng)法則，取x2=0代入化簡(jiǎn)可得2f（x1）[f（0）-1]=0，結(jié)合2f（x1）≠0即可得到f（0）=1．再令x1=-x且x2=x，代入化簡(jiǎn)可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1；同理得到f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1，因此f（-2x）=f（2x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)．
解答：解：取x2=0，得2f（x1）•f（0）=f（x1）+f（x1）
即2f（x1）•f（0）=2f（x1），可得2f（x1）[f（0）-1]=0
∵x1是任意的實(shí)數(shù)，可得2f（x1）≠0
∴f（0）-1=0，解之得f（0）=1
∵x1=x且x2=-x，得2f（x）•f（-x）=f（0）+f（2x）
∴f（2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
再令x1=-x且x2=x，得2f（-x）•f（x）=f（0）+f（-2x）
可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
因此，f（-2x）=f（2x），用
x
2
代替x，可得f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
故答案為：1，偶
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求f（0）之值并討論函數(shù)的奇偶性，著重考查了函數(shù)奇偶性的定義和運(yùn)用賦值法求函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過(guò)函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x-m|＞|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足|x-m|＜|y-m|，則稱(chēng)x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，
1
2
）對(duì)稱(chēng)；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對(duì)任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
③存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊(cè)答案