Question

已知函數(shù)f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，求證函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0對(duì)x∈R成立，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）解：當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x|x²-3|=
（i）當(dāng)x＜-，或x＞時(shí)，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）當(dāng)-＜x＜時(shí)，f^′（x）=3-3x²=-3（x-1）（x+1）．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f^′（x）＞0；
當(dāng)-＜x＜-1，或1＜x＜時(shí)，f?（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-]，[-1，1]，[，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-，-1]，[1，]．（8分）
由區(qū)間的定義可知，b＞0．
①若0＜b≤1時(shí)，則[0，b]?[-1，1]，因此函數(shù)f（x）在[0，b]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=b時(shí)，f（x）有最大值f（b）=3b-b³．
②若1＜b≤時(shí)，f（x）=3x-x³在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，b]上單調(diào)遞減，因此，在x=1時(shí)取到極大值f（1）=2，并且該極大值就是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最大值2．
③若b＞時(shí)，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）=3x-x³在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，]上單調(diào)遞減，
因此，在x=1時(shí)取到極大值f（1）=2，在x∈[，b]時(shí)，f（x）=x³-3x在[，b]上單調(diào)遞增，
在x=b時(shí)，f（x）有最大值f（b）=b³-3b．
（i）當(dāng)f（1）≥f（b），即2≥b³-3b，b³-b-2b-2≤0，b（b²-1）-2（b+1）≤0，（b+1）²（b-2）≤0，b≤2．
∴當(dāng)＜b≤2時(shí)，在x=1時(shí)，f（x）取到最大值f（1）=2．
（ii）當(dāng)f（1）＜f（b），解得b＞2，
∴當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）在x=b時(shí)，取到最大值f（b）=b³-3b，
綜上所述，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值為y_max=．
分析：（1）利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）函數(shù)取最值的可能點(diǎn)為極值點(diǎn)，端點(diǎn)，間斷點(diǎn)，因此找出這些點(diǎn)，再比較函數(shù)值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問(wèn)題，注意分情況討論．