Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，前kn項和記為S_kn（n，k∈N^*），對給定的常數k，若

S(k+1)n

Skn

是與n無關的非零常數t=f（k），則稱該數列{a_n}是“k類和科比數列”．
（1）已知Sn=

4

3

an-

2

3

(n∈N*)，求數列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，數列an=2cn，求證數列c_n是一個“1 類和科比數列”（4分）；
（3）設等差數列{b_n}是一個“k類和科比數列”，其中首項b₁，公差D，探究b₁與D的數量關系，并寫出相應的常數t=f（k）．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推導出數列a_n為等比數列，然后將a₁=2，q=4代入等比數列的通項公式即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）根據（1）中求出的an的通項公式便可求出cn的通項公式為cn=2n-1，然后求出

S2n

Sn

為定值，便可證明數列c_n是一個“1 類和科比數列”；
（3）根據題中“k類和科比數列”的定義，將

S(k+1)n

Skn

=t便可求出D與b₁的關系，繼而可以求出常數t的表達式．

解答：解：（1）聯(lián)立：

Sn= 4 3 an- 2 3 Sn-1= 4 3 an-1- 2 3 (n≥2)

，
∴

4

3

an-

4

3

an-1=an，
∴

an

an-1

=4(n≥2)，
所以{a_n}是等比數列，
由 a1=

4

3

a1-

2

3

，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．
（2）c_n=2n-1前n項的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n² ，

S2n

Sn

=4，
所以數列{a_n}是一個“1類和科比數列”．
（3）對任意一個等差數列數列b_n，首項b₁，公差D，
Skn=knb1+

kn(kn-1)

2

D．
S(k+1)n=(k+1)nb1+

(k+1)n((k+1)n-1)

2

D，

S(k+1)n

Skn

=

(k+1)b1+ (k+1)((k+1)n-1) 2 D

kb1+ k(kn-1) 2 D

=t，對一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt對一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）對一切n∈N^*恒成立，
所以

(k2t-(k+1)2)D=0 (k+1-kt)(2b1-D)=0

，
D=2b₁ ，
所以t=(

k+1

k

)2．

點評：本題考查了等差數列的基本性質以及數列的遞推公式，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．