Question

在某電視臺(tái)舉辦的《上海世博會(huì)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽》中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道問(wèn)題，已知甲回答對(duì)這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對(duì)的概率是

1

4

，且三人答對(duì)這道題的概率互不影響．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對(duì)這道題的概率；
（Ⅱ）求答對(duì)該題的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的條件甲回答對(duì)這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對(duì)的概率是

1

4

，三人答對(duì)這道題的概率互不影響，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫(xiě)出關(guān)于三個(gè)事件管理的關(guān)系式，解出概率的值．
（Ⅱ）答對(duì)該題的人數(shù)ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到結(jié)果，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵甲回答對(duì)這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是

1

12

，
乙、丙兩人都回答對(duì)的概率是

1

4

，三人答對(duì)這道題的概率互不影響．
記“甲回答對(duì)這道題”、“乙回答對(duì)這道題”、
“丙回答對(duì)這道題”分別為事件A、B、C，
則P(A)=

3

4

，
且有

P( A )•P( C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

即

[1-P(A)]•[1-P(C)]= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

∴P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

（Ⅱ）答對(duì)該題的人數(shù)ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，
根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到
P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

5

96

P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•C)=

7

24

P(ξ=2)=P(A•B•

.

C

+A•

.

B

•C+

.

A

•B•C)=

15

32

P(ξ=3)=P(A•B•C)=

3

16

∴ξ的分布列是

∴Eξ=1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．