Question

9．已知平面ABC外一點P，且PH⊥平面ABC于點H．給出下列四個命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則點H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，點H是AC的中點，則PA=PB=PC；
 ④若PA=PB=PC，則點H是△ABC的外心．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，然后對應(yīng)選項一一判定即可．

解答 解：∵PH⊥平面ABC，H為垂足．
∴PH⊥AB，PH⊥AC，PH⊥BC，
①若PA⊥BC，則BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH，同理：AC⊥BH，
則點H是△ABC的垂心，正確；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
③若∠ABC=90°，H是AC的中點，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，則PA=PB=PC；正確．
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，則H是△ABC的外心，正確．
故正確的命題為：①②③④，
故選：A

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，三垂線定理的應(yīng)用，是中檔題．