18.在△ABC中,D是BC上的一點,AD平分∠BAC且△ABD的面積是△ADC面積的2倍.
(1)求$\frac{AC}{AB}$的值.
(2)若∠BAC=60°,BC=2,設(shè)∠B=x,△ABC的周長為y,請寫出y與x的關(guān)系式,并求定義域和值域.

分析 (1)由S△ABD=2S△ADC,利用三角形面積公式即可解得$\frac{AC}{AB}$的值.
(2)由正弦定理得b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx,c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{2π}{3}$-x),利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得y=4sin(x+$\frac{π}{6}$)+2,由x∈(0,$\frac{2π}{3}$),可求x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.

解答 解:(1)由S△ABD=2S△ADC,
可得:$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=2$•\frac{1}{2}•$AC•AD•sin∠DAC,
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$.
(2)∵∠B=x,
∴由正弦定理得:$\frac{2}{sin60°}$=$\frac{sinx}$=$\frac{c}{sin(\frac{2π}{3}-x)}$,
∴b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx,c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{2π}{3}$-x),
∴y=a+b+c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinx+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{2π}{3}$-x)+2=4sin(x+$\frac{π}{6}$)+2,
∵∠BAC=60°,
∴可得定義域:x∈(0,$\frac{2π}{3}$),
∴x+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),可得:sin(x+$\frac{π}{6}$)∈($\frac{1}{2}$,1],
∴y=a+b+c=4sin(x+$\frac{π}{6}$)+2∈(4,6],故值域為:(4,6].

點評 本題主要考查了三角形面積公式,正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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③若f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在(-∞,-1]上為減函數(shù).
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A.0B.1C.2D.3

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③若∠ABC=90°,點H是AC的中點,則PA=PB=PC;
 ④若PA=PB=PC,則點H是△ABC的外心.
其中正確命題的個數(shù)為( 。
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