Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=，問是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+≤f（x）≤2x²+2x+對一切實數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：先由已知條件求出f（x）的解析式，然后證明x²+≤f（x）≤2x²+2x+對一切實數(shù)x都成立即可．
解答：解：由f（1）=，得a+b+c=．令x²+=2x²+2x+⇒x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+推得f（-1）≤，
由f（x）≥x²+推得f（-1）≥，
∴f（-1）=．
∴a-b+c=．故a+c=且b=1．
∴f（x）=ax²+x+-a．
依題意ax²+x+-a≥x²+對一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=．
∴f（x）=x²+x+1．
證明如下：x²+x+1-2x²-2x-=-x²-x-=-（x+1）²≤0．
∴x²+x+1≤2x²+2x+對x∈R都成立．
∴存在實數(shù)a=，b=1，c=1，
使得不等式x²+≤f（x）≤2x²+2x+對一切x∈R都成立．
點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，難度一般，關(guān)鍵是先求出f（x）的解析式再證明．