如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，EC與平面ABCD成角．

　　

(Ⅰ)求證：EG⊥平面ABCD；

(Ⅱ)若AD=2，求二面角E－FC－G的度數(shù)；

(Ⅲ)當(dāng)AD的長(zhǎng)是多少時(shí)，D點(diǎn)到平面EFC的距離為2？請(qǐng)說明理由．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)∵△ADE是正三角形，∴EG⊥AD．

　　又平面ADE⊥平面ABCD且相交于AD，∴EG⊥平面ABCD．

　　解：(Ⅱ)連接CG，則CG是EC在平面ABCD內(nèi)的射影．

　　∴∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，即∠ECG=．

　　在Rt△EGC中：∵AD=2，∴EG=，∴GC=3．

　　在Rt△GDC中：DG=1，GC=3，∴DC=．

　　則

　　∴，即GF⊥FC．

　　∵GF是EF在平面AC內(nèi)的射影，∴EF⊥FC，

　　∴∠EFG是二面角E－FC－G的平面角．

　　在Rt△EGF中，EG=GF=，∴∠EFG=．

　　故所求二面角E－FC－D的度數(shù)為．

　　(Ⅲ)連DF，D到平面EFC的距離即為三棱錐D－EFC的高．

　　∵

　　設(shè)AD=a，則CD=a，EF=FC=a．

　　

　　故AD的長(zhǎng)為時(shí)，D點(diǎn)到平面EFC的距離為2．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△EAD為正三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，EB與平面ABCD成30°角．
（1）當(dāng)AD長(zhǎng)度為何值時(shí)，點(diǎn)A到平面EFB的距離為2？
（2）二面角A-BF-E的大小是否與AD的長(zhǎng)度有關(guān)？請(qǐng)說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為1，E為BC中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

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如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=
2
a，DF=
2
a
2
．
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大��；
（Ⅲ）點(diǎn)P是線段EB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APF為直角時(shí)，求BP 的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，AD=a，AB=
2
a，DF=
2
a
2
． 
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求直線EB和平面ABFD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年內(nèi)蒙古赤峰市高三統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△EAD為正三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，EB與平面ABCD成30°角．
（1）當(dāng)AD長(zhǎng)度為何值時(shí)，點(diǎn)A到平面EFB的距離為2？
（2）二面角A-BF-E的大小是否與AD的長(zhǎng)度有關(guān)？請(qǐng)說明．

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