Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
②函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（x＞0）；
③若函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數(shù)y=f（x-1）是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：逐個(gè)加以判別：根據(jù)奇函數(shù)定義得到①正確；根據(jù)原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，得到②不正確；根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域求法，得到③正確；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)以及函數(shù)圖象平移規(guī)律，得到④正確．由此可得正確選項(xiàng)．

解答：解：先看①：當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c變?yōu)閒（x）=x|x|+bx
此時(shí)f（-x）=-x|-x|-bx=-f（x），說(shuō)明f（x）奇函數(shù)
反之，當(dāng)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)時(shí)，由f（-x）=-f（x），可得到c=0，
因此函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0，故①正確；
再看②：由y=2^-x（x＞0）得x=-log₂y，（0＜y＜1）
說(shuō)明函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1），故②不正確；
然后看③：函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，等價(jià)于真數(shù)可以取到所有的正數(shù)，
說(shuō)明真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的判別式大于0，
即a²+4a≥0，得到a≤-4或a≥0，故③正確．
最后看④：函數(shù)y=g（x）=f（x-1）是奇函數(shù)，說(shuō)明g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
而y=f（x）的圖象是由y=g（x）圖象左移一個(gè)單位而來(lái)的，
說(shuō)明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱(chēng)，故④正確．
綜上所述，得正確命題是①③④三個(gè)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的奇偶性和基本初等函數(shù)的定義域、值域?yàn)檩d體，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．對(duì)基本初等函數(shù)的定義域、值域和圖象的考查，是高考常考的必考知識(shí)，同學(xué)們應(yīng)給予足夠的重視．