如圖，已知斜三棱柱ABC—的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC＝，側(cè)面是邊長為a的菱形，且垂直于底面，＝，E、F分別是、BC的中點．

(Ⅰ)求證：EF∥側(cè)面；

(Ⅱ)求四棱錐A—的體積；

(Ⅲ)求EF與側(cè)面所成角的正切值．

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：連結(jié)．

　　∵是菱形，且E是的中點，

　　∴E是的中點．

　　又F是BC的中點，

　　∴EF∥．

　　又，

　　，

　　∴EF∥平面．

(Ⅱ)解：∵平面⊥平面ABC，交線AB，

　　∴在平面內(nèi)，過⊥AB于O，

　　則⊥平面ABC，且h＝．

　　∴

　　

　　　　　　＝．

(Ⅲ)解：在平面ABC內(nèi)，過F作FH⊥AB于H，

　　則FH⊥側(cè)面．

　　連結(jié)EH，則∠HEF為EF與側(cè)面所成的角．

　　在Rt△FHB中，F(xiàn)H＝．

　　在△HEB中，HE＝

　　　　　　　　　　

　　在Rt△EHF中，tan∠HEF＝．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大小；
（2）求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大��；
（3）求點C到側(cè)面A1B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成的角為
π3
，頂點B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥AB；
（3）求二面角B1-BC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱與底面所成角為
π3
，頂點B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥C1A；
（3）求二面角B1-BC-A的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱與底面所成的角為θ，且
AB1⊥BC1，點B1在底面上的射影D在BC上．
（I）若D點是BC的中點，求θ；
（Ⅱ）若cosθ=
13
，且AC=BC=AA1=a，求二面角C-AB-C1的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•梅州二模）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點B1在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=
2
a．
（1）求證：AC⊥平面BCC1B1；
（2）當BB1與底面ABC所成的角為60°，且AB1⊥BC1時，求點B1到平面AC1的距離．

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