【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(0,3),與雙曲線 =1有相同的焦點(diǎn)
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線,分別交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則PQ是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:雙曲線 =1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3 ,0),(﹣3 ,0),
可得橢圓中的c=3 ,由橢圓過(guò)點(diǎn)A(0,3),可得b=3,
則a= =6,
則橢圓的方程為 + =1
(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP的斜率為k,直線AQ的斜率為﹣ ,
直線AP的方程為y=kx+3,代入橢圓x2+4y2﹣36=0,
可得(1+4k2)x2+24kx=0,
解得x1=﹣ ,y1=kx1+3= ,
即有P(﹣ , ),
將上式中的k換為﹣ ,可得Q( , ),
則直線PQ的斜率為kPQ= = ,
直線PQ的方程為y﹣ = (x+ ),
可化為x(k2﹣1)﹣(5y+9)k=0,
可令x=0,5y+9=0,即x=0,y=﹣ .
則PQ過(guò)定點(diǎn)(0,﹣ )
【解析】(1)求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得橢圓的c,由A點(diǎn),可得b,求得a,即可得到橢圓方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),直線AP的斜率為k,直線AQ的斜率為﹣ ,直線AP的方程為y=kx+3,代入橢圓方程,求得P的坐標(biāo),k換為﹣ ,可得Q的坐標(biāo),求出直線PQ的斜率,以及方程,整理可得恒過(guò)定點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且滿足: ①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|;
②r(n﹣p)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 其中r,p∈R,且r≠0.
(1)求p的值;
(2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)r=2時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中,動(dòng)圓Q的半徑為1,圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),設(shè)向量 =m +n (m,n為實(shí)數(shù)),則m+n的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x+φ),且 f(x)dx=0,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(x)的一條對(duì)稱軸為x=
B.存在φ使得f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞減
C.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為( ,0)
D.存在φ使得f(x)在區(qū)間[ , ]上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于B,C兩點(diǎn),l與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,且|AF|=6,=2,
(1)求拋物線方程.
(2)求|BC|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M的圓心在直線上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(1,2).
(1)求圓M的方程;
(2)直線與圓M相切,且在y軸上的截距是在x軸上截距的兩倍,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名中學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | ① | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | ② |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185) | 10 | 0.100 |
合計(jì) | 100 | 1.00 |
(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖,并從頻率分布直方圖中求出中位數(shù)(中位數(shù)保留整數(shù));
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試,求:第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1,直線l過(guò)點(diǎn)M(﹣1,0),與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)N.
(1)設(shè)MN的中點(diǎn)恰在橢圓C上,求直線l的方程;
(2)設(shè) =λ , =μ ,試探究λ+μ是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為( )
A.5
B.4
C.3
D.2
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