Question

定義在R⁺上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，當(dāng)x＞1時，f（x）＞0
①求f（1）；
②證明f（x）在R⁺上的增函數(shù)；
③當(dāng)f（x）=

1

2

，解不等式f（x²-3x）＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①用賦值法求f（1）的值，因?yàn)槎�義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，即可求出f（1）的值．
②用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，步驟是，先設(shè)所給區(qū)間上任意兩個自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小，比較時，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂寫成

x2

x1

•x1即可．
③先根據(jù)f（2）=

1

2

以及f（m•n）=f（m）+f（n）求出f（4）=1，把不等式f（x²-3x）＞1化為f（x²-3x）＞f（4），再利用②判斷的函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答： ①解：∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），
滿足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0；
②證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x1）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，而當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，從而f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③解：∵f（4）=f（2）+f（2）=1，∴f（x²-3x）＞f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴x²-3x＞4，
解得x＜-1或x＞4，
故所求不等式的解集為{x|x＜-1或x＞4}．

點(diǎn)評：本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及借助函數(shù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．