Question

如圖，已知M（m，m²），N（n，n²）是拋物線C：y=x²上兩個(gè)不同點(diǎn)，且m²+n²=1，m+n≠0．直線l是線段MN的垂直平分線．設(shè)橢圓E的方程為

x2

2

+

y2

a

=1（a＞0，a≠2）．
（1）當(dāng)M，N在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求直線l斜率k的取值范圍；
（2）已知直線l與拋物線C交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，與橢圓E交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為R，PQ中點(diǎn)為S，若

OR

•

OS

=0，求橢圓E離心率的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先用M，N的坐標(biāo)表示出直線MN的斜率，進(jìn)而表示出直線l的斜率，根據(jù)m²+n²=1，由m²+n²≥2mn求得m和n的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得k的范圍．
（2）先根據(jù)題意整理出直線l的方程，進(jìn)而代入橢圓和拋物線方程，利用P，S表示出

OR

•

OS

=0，求得a和k的關(guān)系，利用（1）中k的范圍求得a的范圍，進(jìn)而求得橢圓離心率的范圍．

解答： 解：（1）∵直線MN的斜率k_MN=m+n，
又∵l⊥MN，m+n≠0，∴直線l的斜率k=-

1

m+n

∵m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得2（m²+n²）≥（m+n）²，
即2≥（m+n）²，∴|m+n|≤

2

因M、N兩點(diǎn)不同，∴0＜|m+n|＜

2

，
∴k∈(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)；
（2））∵l方程為：y-

m2+n2

2

=k（x-

m+n

2

），
又∵m²+n²=1，m+n=-

1

k

，y-

1

2

=k（x+

1

2k

），
∴l(xiāng)：y=kx+1，代入拋物線和橢圓方程并整理得：x²-kx-1=0（1），
（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0（2）
易知方程（1）的判別式△₁=k²+4＞0恒成立，方程（2）的判別式△₂=8a（2k²+a-1）
∵k²＞

1

2

，a＞0，
∴2k²+a-1＞a＞0，∴△₂＞0恒成立
∵R（

k

2

，

k2

2

+1），S（-

2k

a+2k2

，

a

a+2k2

），
由

OR

•

OS

=0得：-k2+a(

k2

2

+1)=0，
∴a=

2k2

k2+2

，
∵k²＞

1

2

，∴a=2-

4

k2+2

＞

2

5

，

2

5

＜a＜2，
∴

2-a 2

=e，∴a=2-2e²＞

2

5

，
∴e²＜

4

5

，∴0＜e＜

2 5

5

，
∴橢圓E離心率的取值范圍是（0，

2 5

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)，如直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)問(wèn)題，垂直問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題．