Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
則g′（x）=lnx+1-a，
由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜e^a-1；
由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞e^a-1．
所以g（x）在（0，e^a-1）上單調(diào)遞減，在（e^a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，切線的斜率為lnx₀+1．
所以切線l的方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
又切線l過點(diǎn)（0，-1），所以有-1-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（0-x₀），
即-1-x₀lnx₀=-x₀lnx₀-x₀，
解得x₀=1，y₀=0，
所以直線l的方程為y=x-1．
分析：（1）把函數(shù)f（x）=xlnx代入g（x）=f（x）-a（x-1），求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程，把點(diǎn)（0，-1）代入求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則切線方程可求．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，考查了曲線上某點(diǎn)處切線方程的求法，解答此類問題時要注意題目的問法，是在某點(diǎn)處的切線方程還是過某點(diǎn)處的切線方程，以免解答出錯，此題是中檔題．