Question

17．函數(shù)y=$\sqrt{1-2cosx}$的減區(qū)間為[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，利用余弦函數(shù)y=cosx的單調(diào)性和y=${x}^{\frac{1}{2}}$，即可判定y=$\sqrt{1-2cosx}$的減區(qū)間．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2cosx}$得1-2cosx≥0，即cosx≤$\frac{1}{2}$，即-π+2kπ≤x≤-$\frac{π}{3}$+2kπ，或$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，
設t=1-2cosx，
∵余弦函數(shù)y=cosx在[-π+2kπ，2kπ-$\frac{π}{3}$]（k∈Z）上是增函數(shù)，在[2kπ+$\frac{π}{3}$，π+2kπ]（k∈Z）上是減函數(shù)，
且函數(shù)t=1-2cosx的單調(diào)性與余弦函數(shù)的單調(diào)性相反，
∴函數(shù)t=1-2cosx在[-π+2kπ，2kπ-$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）上是減函數(shù)，
∵y=${x}^{\frac{1}{2}}$在[0，+∞）為增函數(shù)，
∴y=$\sqrt{1-2cosx}$的減區(qū)間為[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．
故答案為：[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．

點評 本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性應用，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性問題，關鍵是求出函數(shù)的定義域，屬于基礎題．