Question

13．已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的圖象過點（0，2a）且在該點處切線的傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（1）試用a表示b，c；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由直線的斜率公式可得方程，解方程可得b，c；
（2）求出導數，由題意可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有負，討論a=0，a＞0，a＜0，結合二次函數的圖象，考慮判別式大于0，f（$\frac{1}{2}$）＞0，以及對稱軸與$\frac{1}{2}$的關系，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的導數為
f′（x）=e^-x[-ax²+（2a-b）x+b-c]，
由在點（0，2a）處切線的傾斜角為$\frac{π}{4}$，可得
k=b-c=1，
再由f（0）=2a，可得c=2a，
則b=1+2a，c=2a；
（2）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的導數為
f′（x）=e^-x（-ax²-x+1），
由f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上不單調，
可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有負，
a=0時，g（x）=1-x成立；
a＜0時，判別式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
又-$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$．解得-$\frac{1}{4}$＜a＜0；
a＞0時，判別式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
解得0＜a＜2．
綜上可得a的取值范圍是：-$\frac{1}{4}$＜a＜2．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性，考查分類討論的思想方法，以及運算求解能力，屬于中檔題．