Question

2．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在點P使得|PF₁|=2|PF₂|，則橢圓的離心率范圍是
（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． [$\frac{2}{3}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 |PF₁|+|PF₂|=2a，又|PF₁|=2|PF₂|，解得|PF₁|，|PF₂|，由于cos∠F₁PF₂∈（-1，1]，解出即可得出．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，又|PF₁|=2|PF₂|，
解得|PF₁|=$\frac{4a}{3}$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{（\frac{4a}{3}）^{2}+（\frac{2a}{3}）^{2}-（2c）^{2}}{2×\frac{4a}{3}×\frac{2a}{3}}$∈（-1，1]，
∴$-1＜\frac{5-9{e}^{2}}{4}$≤1，
解得$\frac{1}{3}≤e＜1$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、余弦定理、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．