Question

1．拋物線C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）的焦點與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦點的連線交C₁于第一象限的點M，若C₁在點M處切線平行于C₂的一條漸近線，則p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數(shù)y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）在x取直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標與p的關系，把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值．

解答 解：由拋物線C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）得x²=2py（p＞0），
所以拋物線的焦點坐標為F（0，$\frac{p}{2}$）．
由$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2．
所以雙曲線的右焦點為（2，0）．
則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為$\frac{y-0}{\frac{p}{2}-0}$=$\frac{x-2}{0-2}$，
即$\frac{p}{2}$x+2y-p=0①．
設該直線交拋物線于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），則C₁在點M處的切線的斜率為$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由題意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得x₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，代入M點得M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{p}{6}$）
把M點代入①得：$\frac{\sqrt{3}}{3}{p}^{2}+\frac{2}{3}p-2p=0$．
解得p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導數(shù)，是中檔題．