Question

9．已知A（4，0）、B（0，5）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是橢圓上處于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． 10（$\sqrt{3}$-1）
• B． 10（$\sqrt{2}$+1）
• C． 10（$\sqrt{2}$-1）
• D． 10（$\sqrt{3}$+1）

Answer 1

分析 由已知條件求出直線AB的方程5x+4y-20=0，求出|AB|，設(shè)C（4cosα，5sinα），0＜α＜$\frac{π}{2}$，點(diǎn)C到直線AB的距離d，表示三角形的面積，求出△ABC的面積的最大值．

解答 解：直線AB的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$，整理，得：5x+4y-20=0，
|AB|=$\sqrt{16+25}$=$\sqrt{41}$，
∵C橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1上第一象限上的一點(diǎn)，
∴設(shè)C（4cosα，5sinα），0＜α＜$\frac{π}{2}$，
點(diǎn)C到直線AB的距離d=$\frac{|20cosα+20sinα-20|}{\sqrt{41}}$=$\frac{|20\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-20|}{\sqrt{41}}$，
∴當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，d_max=$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$，
∴△ABC的面積的最大值：
S_max=$\frac{1}{2}$|AB|•d_max
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{41}$×$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$=10$\sqrt{2}$-10．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．