Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=

(a+5)x+b

x+1

在（0，+∞）上是增函數(shù)；命題q：方程x²+

-a

x+b-2=0有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，若p∧q是真命題．
（1）求點(diǎn)P（a，b）的軌跡圖形的面積；
（2）求a+5b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系建立條件關(guān)系，作出對應(yīng)的圖象即可求點(diǎn)P（a，b）的軌跡圖形的面積；
（2）利用線性規(guī)劃的知識即可求a+5b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

(a+5)x+b

x+1

，f′（x）=

a+5-b

(x+1)2

，
∴p真?x∈（0，+∞）時，

a+5-b

(x+1)2

＞0?a-b+5＞0，（2′）
∵方程x²+

-a

x+b-2=0有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根?

- -a ＜0 b-2＞0 ( -a )2-4b+8＞0

?

a＜0 b-2＞0 a+4b-8＜0

，即q真?

a＜0 b-2＞0 a+4b-8＜0

；
若p∧q是真命題．則p真q真，∴

a＜0 ，&b＞2 a-b+5＞0 a+4b-8＜0

點(diǎn)P（a，b）的軌跡圖形如圖，△ABC 的內(nèi)部；
由邊界可得A（0，2），B（-3，2），C（-

12

5

，

13

5

）
∴△ABC的面積S=

1

2

×3×（

13

5

-2）=

9

10

，即點(diǎn)P（a，b）的軌跡圖形的面積為

9

10

；
（2）設(shè)a+5b=z，直線a+5b=z過B點(diǎn)時，z=-3+5×2=7，直線a+5b=z過C點(diǎn)時，
z=-

12

5

+5×

13

5

=

53

5

，
∴a+5b的取值范圍是（7，

53

5

）

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．