Question

如圖，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，，E、F分別是A₁C₁、AB的中點(diǎn)．求證：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

Answer 1

證明：（1）取BC中點(diǎn)M，連接FM，C1M，
在△ABC中，因?yàn)镕，M分別為BA、BC的中點(diǎn)，
所以FM，
因?yàn)镋為A₁C₁的中點(diǎn)，AC，
所以EF∥EC₁，又FM∥A₁C₁從而四邊形EFMC₁為平行四邊形，
所以EF∥C₁M，又因?yàn)镃₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足，
因?yàn)椤螦₁AC=60°，所以AO=AA₁=AC，
從而O為AC的中點(diǎn)．
所以O(shè)CA₁E，因而ECA₁O₁，
因?yàn)閭?cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，交線為AC，
A₁O⊥AC，所以A₁O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因?yàn)镋C?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．
分析：（1）取BC中點(diǎn)M，連接FM，C1M，證明FM，推出四邊形EFMC₁為平行四邊形，然后證明EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足，證明OCA₁E，得到ECA₁O₁，證明A₁O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系，考查直線與平面平行，平面與平面垂直的證明，考查空間想像能力和推理論證能力．