Question

【題目】（1）已知直線l過(guò)點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為．

①求直線l的方程；

②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，試用n表示d的關(guān)系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；

（2）在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①點(diǎn)；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.

Answer 1

【答案】（1）①；②，；（2）不存在.

【解析】

（1）根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率,結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得直線方程;根據(jù)直線平行且過(guò)原點(diǎn),可得直線的方程,由平行線間距離公式可得n與d的關(guān)系式,設(shè)出直線的方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可求得直線方程.

（2）假設(shè)存在這樣的直線簇.先求得,的表達(dá)式,進(jìn)而表示出.通過(guò)迭加法求得,即可證明當(dāng)時(shí),與不能成立.

（1）①直線l方向向量為

所以直線的斜率為

直線l過(guò)點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得

即直線l的方程為：；

②直線且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),

直線的方程為：

由題意知直線到l的距離為,根據(jù)平行線間距離公式可得

則

設(shè)直線的方程為：

由題意知：直線到直線l的距離為,

所以直線的方程為：；

（2）假設(shè)存在滿足題意的直線簇．由①知的方程為：,,

分別令,得,,

由,即,,

迭加得．

由③知所有的同號(hào),僅討論的情形,

由,

所以

顯然,當(dāng)時(shí),與矛盾！

故滿足題意的直線簇不存在．