Question

已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函數(shù)f（x）=（+）•（-），若y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1，且過點M（1，）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f（x）=（+）•（-）==sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由題意得周期T==4，故ω=…（4分）
又圖象過點M（1，），所以=3-cos（+2φ）
即sin2φ=，而0＜φ＜，所以2φ=
∴f（x）=3-cos（x+）
（2）當(dāng)-1≤x≤1時，-≤x+≤
∴當(dāng)-≤x+≤0時，即x∈[-1，-]時，f（x）是減函數(shù)
當(dāng)0≤x+≤時，即x∈[-，1]時，f（x）是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[-1，-]，單調(diào)增區(qū)間是[-，1]
分析：（Ⅰ）首先由向量運算以及三角恒等變換化簡f（x）=（+）•（-）=-cos（2ωx+2φ）+3，再由y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1判斷出函數(shù)的周期是4，由周期公式求得ω，再由圖象過點M（1，），代入求得φ，即得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤1時，代入求得相位的取值范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的向量的坐標(biāo)運算與三角恒等變換求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．