Question

已知?jiǎng)訄AM在y軸右側(cè)與圓F：（x-1）²+y²=1外切，又與y軸相切．
（1）求圓心M的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)P在軌跡C上，過點(diǎn)F作直線l與PF垂直，記l與直線x=-1的交點(diǎn)為R，試探究直線PR與軌跡C是否存在唯一交點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y），（x＞0），依題意知|MF|=x+1，由此能求出圓心M的軌跡C的方程．
（2）由（1）知軌跡C的方程y²=4x．（x＞0）設(shè)R（-1，r），P（

p2

4

，p），（p＞0），由已知得-2（

p2

4

-1）+rp=0，直線PR的方程為

y-p

r-p

=

x- p2 4

-1- p2 4

，由此能求出直線PR與軌跡C存在唯一交點(diǎn)．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），（x＞0），
依題意知|MF|=x+1，
即

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得圓心M的軌跡C的方程y²=4x．（x＞0）
（2）由（1）知軌跡C的方程y²=4x．（x＞0）
設(shè)R（-1，r），P（

p2

4

，p），（p＞0），
∵FR⊥FP，∴

FR

•

FP

=0，
∴（-2，r）•(

p2

4

-1，p)=0，
∴-2（

p2

4

-1）+rp=0，解得r=

p

2

-

2

p

，
直線PR的方程為

y-p

r-p

=

x- p2 4

-1- p2 4

，
把r=

p

2

-

2

p

代入并整理，得2x=py-

p2

2

，
聯(lián)立y²=4x，消去x，得（y-p）²=0，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴直線PR與軌跡C存在唯一交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線PR與軌跡C存在唯一交點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．