Question

已知⊙O′過定點(diǎn)A（0，p）（p＞0），圓心O′在拋物線x²=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′截x軸所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ．
（1）當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；
（2）求

d1

d2

+

d2

d1

的最大值，并求取得最大值的θ值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓的半徑，得到方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x²₀+（y₀-p）²，令y=0，得到關(guān)于x₀的方程，繼而求出|MN|=|x_N-x_M|=2p，故問題得以解決，
（2）分別表示出d₁，d₂，再利用基本不等式，求出

d1

d2

+

d2

d1

的最大值，根據(jù)等號(hào)成立的條件求出△MO′N為等腰直角三角形，問題得以解決

解答： 解：（1）設(shè)圓心O′（x₀，y₀），則x²₀=2py₀，圓O′的半徑|CA|=

x02+(y0-p)2

 ，其方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x²₀+（y₀-p）²，
令y=0，并將x²₀=2py₀，代入，得x²-2x₀x+x²₀-p²=0，
解得x_m=x₀-p，x_N=x₀+p，
∴|MN|=|x_N-x_M|=2p（定值）
（2）∵d₁=|AM|=

(x0-p)2+p2

，d₂=|AN|=

(x0+p)2+p2

，
∴d₁²+d₂²=4p²+2x²₀，d₁•d₂=

4p4+x04

，
∴

d1

d2

+

d2

d1

=

d12+d22

d1d2

=

4p2+2x02

4p4+x04

=

4p(p+y0)

2p p2+y02

=2

1+ 2py0 p2+y02

≤2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)y₀=p時(shí)等號(hào)成立，x₀=±

2

p，此時(shí)△MO′N為等腰直角三角形，且∠MO′N=90°，
∴∠MAN=

1

2

∠MO′N=45°，
故當(dāng)θ=45°時(shí)

d1

d2

+

d2

d1

有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓，拋物線，基本不等式的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵設(shè)出圓心O′（x₀，y₀），考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，屬于中檔題