Question

設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax²+（1-2a）x-2＞0．

Answer 1

分析：利用ax²+（1-2a）x-2=（x-2）（ax+1），于是有（x-2）（ax+1）＞0，對(duì)a分類討論，同時(shí)要注意比較根的大小，依次求解即可得到答案．

解答：解：∵關(guān)于x的不等式ax²+（1-2a）x-2＞0，
∴因式分解可形為（x-2）（ax+1）＞0，
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式即為x-2＞0，
故不等式的解為{x|x＞2}；
②當(dāng)a＞0時(shí)，不等式即為（x-2）（x+

1

a

）＞0，
∵-

1

a

＜2，
故不等式的解為{x|x＜-

1

a

或x＞2}；
③當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，不等式即為（x-2）（x+

1

a

）＜0，
∵2＜-

1

a

，
故不等式的解為{x|2＜x＜-

1

a

}；
④當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，不等式即為（x-2）²＜0，
故不等式的解為∅；
⑤當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，不等式即為（x-2）（x+

1

a

）＜0，
∵-

1

a

＜2，
故不等式的解為{x|-

1

a

＜x＜2}．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解為{x|x＞2}，
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解為{x|x＜-

1

a

或x＞2}，
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，不等式的解為{x|2＜x＜-

1

a

}，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，不等式的解為∅，
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，不等式的解為{x|-

1

a

＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法．求解一元二次不等式時(shí)，要注意與一元二次方程的聯(lián)系，以及與二次函數(shù)之間的關(guān)系．求解不步驟是：判斷最高次系數(shù)的正負(fù)，將負(fù)值轉(zhuǎn)化為正值，確定一元二次方程的根的情況，利用二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．屬于基礎(chǔ)題．如果方程的根的大小關(guān)系部確定，則需要進(jìn)行分類討論求解．屬于中檔題．