Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（2）若當(dāng)x∈[a+1，a+2]時(shí)，恒有|f′（x）|≤a，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可求單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出極值點(diǎn)．
（2）將（1）中所求的導(dǎo)函數(shù)f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等關(guān)系式，再由函數(shù)f'（x）的單調(diào)性求出最值可得解．

解答：解：f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a由表


可知：當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（3a，+∞）時(shí)．函數(shù)f（x）也為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（a，3a）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x=a時(shí)，f（x）的極小值為-

4

3

a3+b；當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）的極大值為b．
（2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上為減函數(shù)．
∴[f'（x）]_max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]_min=f'（a+2）=4a-4．
于是，問題轉(zhuǎn)化為求不等式組

2a-1≤a 4a-4≥-a

的解．解得

4

5

≤a≤1．又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．