Question

設函數f（x）=-

1

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x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間、極值；
（2）若當x∈[a+1，a+2]時，恒有|f′（x）|≤a，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，根據導數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減可求單調區(qū)間進而求出極值點．
（2）將（1）中所求的導函數f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等關系式，再由函數f'（x）的單調性求出最值可得解．

解答：解：f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a由表


可知：當x∈（-∞，a）時，函數f（x）為減函數，當x∈（3a，+∞）時．函數f（x）也為減函數；
當x∈（a，3a）時，函數f（x）為增函數．
當x=a時，f（x）的極小值為-

4

3

a3+b；當x=3a時，f（x）的極大值為b．
（2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上為減函數．
∴[f'（x）]_max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]_min=f'（a+2）=4a-4．
于是，問題轉化為求不等式組

2a-1≤a 4a-4≥-a

的解．解得

4

5

≤a≤1．又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．