Question

已知兩圓C1：x 2+y2+4x-4y+4=0和圓C2：x2+y2+2x=0
（1）求證：兩圓相交．
（2）求過點（-2，3），且過兩圓交點的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再求出兩圓的圓心距，根據(jù)兩圓的圓心距C₁C₂ 大于兩圓的半徑之差而小于兩圓的半徑之和，證得兩圓相交．
（2）設(shè)過兩圓交點的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，把點（-2，3）代入求得λ=

1

3

，可得所求的圓的方程．

解答：解：（1）證明：∵圓C1：x 2+y2+4x-4y+4=0，即（x+2）²+（y-2）²=4，表示以C₁（-2，2）為圓心、半徑等于2的圓．
圓C2：x2+y2+2x=0，即 （x+1）²+y²=1，表示以C₂（-1，0）為圓心、半徑等于1的圓．
兩圓的圓心距C₁C₂=

1+4

=

5

，大于兩圓的半徑之差而小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交．
（2）設(shè)過兩圓交點的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，
把點（-2，3）代入求得λ=

1

3

，故所求的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+

1

3

（x²+y²+2x）=0，
即 x 2+y2+

7

2

x-3y+3=0．

點評：本題主要考查兩圓的位置關(guān)系的判斷方法，用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于中檔題．