Question

動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C所得的弦長(zhǎng)為36，求這條直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得：曲線C為拋物線：y²=4x．
（2）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），（k≠0），與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，解出即可．

解答： 解：（1）由題意可得：曲線C為拋物線：y²=4x．
（2）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），（k≠0），與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
∴|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，
解得k=±

2

4

．
故所求的直線方程為y=±

2

4

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．