Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，n∈N^*，a_n＞0，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+1=

2

Sn+1+Sn-2

．
（1）求{S_n}的通項公式；
（2）設{b_k}是{S_n}中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列．
①求b₃；
②存在N（N∈N^*），當n≤N時，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項，求N的范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于a_n+1=S_n+1-S_n，可得（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；變形可得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）①利用S_n=1+

2n-1

，對n取值即可得出b₃．
②由于2n-1是奇數(shù)，S_n=1+

2n-1

為有理數(shù)，可得

2n-1

=2k-1，可得n=2k²-2k+1，取k=20，21即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；
即（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2，
∴（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，
∴{（S_n-1）²}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴S_n=1+

2n-1

．
（2）①n=1時，S₁=1+1=2=b₁，n=5時，S₅=1+3=4=b₂，n=13時，S₁₃=1+5=6=b₃．
②∵2n-1是奇數(shù)，S_n=1+

2n-1

為有理數(shù)，則

2n-1

=2k-1，
∴n=2k²-2k+1，
當k=20時，n=761；當k=21時，n=841；
∴存在N∈[761，840]，當n≤N時，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項．

點評：本題考查了變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的方法，考查了等差數(shù)列的通項公式、分類討論的思想方法，考察了推理能力與計算能力，屬于難題．