Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+1

x

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（3）利用定義證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由分母不為0，得出定義域的范圍；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷；（3）設(shè)；?1＜x₁＜x₂，得出f（x₁）＜f（x₂），從而求出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（-x）=

(-x)2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)；1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域問題，函數(shù)的奇偶性問題，考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．