Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（3）求二面角O﹣AC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析（2） （3）

【解析】

（1）設(shè)是的中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可證明，從而證明平面；（2）利用公式 ，直接求異面直線與所成角的的余弦值，然后求出角的大小；（3）利用射影面的面積與被射影面的面積的比，求二面角的余弦值，從而可得二面角的大�。�

（1）設(shè)O是等腰直角三角形ABD斜邊BD的中點(diǎn)，

所以有AO⊥BD，可求得AO=1，CO=，又有AC=2

所以∠AOC=90°，即AO⊥CO

BD，CO是平面BCD內(nèi)兩條相交直線，故有AO⊥平面BCD．

（2）由（1）可知BD⊥面AOC，

所以面BCD⊥面AOC，AO=1，CO=，AC=2

A點(diǎn)在BCD面內(nèi)的投影為O，

cos＜AB，CD＞=cos∠ABDcos∠BDC==

異面直線AB與CD所成角的大小為：arccos．

（3）三角形AOC的面積為： =；三角形ADC的面積為： =；

所以二面角O﹣AC﹣D的余弦為：,

二面角O﹣AC﹣D的大小為：arccos.