Question

19．求證：曲線y=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a為非零常數(shù)）上任何一點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為定值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，求出切線方程，求出x，y軸上的截距，運用三角形的面積公式，即可得證．

解答 證明：曲線y=$\frac{{a}^{2}}{x}$的導數(shù)為y′=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
在任一點（x₀，y₀）處的切線斜率為-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切點為（x₀，$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$），
則有切線方程：y-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x=0得，y=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
再由y=0，得，x=2x₀，
則與兩坐標軸圍成的三角形面積是：$\frac{1}{2}$|2x₀•$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$|=2a²為定值．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的點斜式，考查運算能力，屬于基礎題．