Question

7．設函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$（x＞0），若函數(shù)g（x）=|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3有三個零點，則實數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 可判斷函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，y=log₂x在（0，2）上單調(diào)遞增，從而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；從而解得．

解答 解：當x＞0時，0＜$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$＜2，
且函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
y=log₂x在（0，2）上單調(diào)遞增，
且y＜1；
故若關于方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0有三個不同實數(shù)解，
則|f（x）|=0或0＜|f（x）|＜1，
0＜|f（x）|＜1或|f（x）|≥1；
若|f（x）|=0，則2m+3=0，故m=-$\frac{3}{2}$；
故|f（x）|=0或|g（x）|=$\frac{3}{2}$，不成立；
故0＜|f（x）|＜1或|f（x）|≥1；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}=4（2m+3）＞0}\\{2m+3＞0}\\{1+m+2m+3≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
故實數(shù)m的最大值為-$\frac{4}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了復合函數(shù)的應用及方程的根與函數(shù)的零點的關系應用，考查運算能力，屬于中檔題．