Question

如圖，D,E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合，已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD,AB關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根.

（Ⅰ）證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C、B、D、E所在圓的半徑.

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（I）做出輔助線，根據(jù)所給的AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，得到比例式，根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到結(jié)論．（II）根據(jù)所給的條件做出方程的兩個(gè)根，即得到兩條線段的長(zhǎng)度，取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH，根據(jù)四點(diǎn)共圓得到半徑的大�。�

試題解析：【解析】
（Ⅰ）連結(jié)，

根據(jù)題意在△和△中，，即．

又 ，從而△∽△．因此．所以四點(diǎn)共圓． 5分

（Ⅱ）時(shí)，方程的兩根為．故， ．取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，分別過(guò)作的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021806052621257601/SYS201502180605414787920087_DA/SYS201502180605414787920087_DA.013.png">四點(diǎn)共圓，所以四點(diǎn)所在圓的圓心為，半徑為，由于，故∥，∥．從而，．故四點(diǎn)所在圓的半徑為． 10分.

考點(diǎn)：1.正弦定理；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．