已知橢圓＝1(a＞b＞0)的一個焦點F與拋物線y2＝4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F．

(Ⅰ)求該橢圓的方程；

(Ⅱ)設橢圓的另一個焦點為F1，問拋物線y2＝4x上是否存在一點M，使得M與F1關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)拋物線的焦點為，準線方程為，

　　∴①

　　又橢圓截拋物線的準線所得弦長為，

　　∴得上交點為，

　　∴②

　　由①代入②得，解得或(舍去)，

　　從而

　　∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為

　　(Ⅱ)∵傾斜角為的直線過點，

　　∴直線的方程為，即，

　　由(Ⅰ)知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，

　　則得，解得，即，

　　又滿足，故點在拋物線上．所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：013

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線＝1的離心率為

[　　]

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學理科(四川卷) 題型：044

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，右準線方程為x＝2．

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)過點F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點，且，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(1，)，離心率為，左、右焦點分別為F1、F2.點P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．

(1)求橢圓的標準方程．

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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