Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥2a²．

Answer 1

（1）當(dāng)a=0時(shí)，
f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0且f（-a）=-2a|a|．
故f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a）．
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）由題設(shè)知x|x-a|≥2a²，
∴原不等式等價(jià)于

x＜a -x2+ax≥2a2

①
或

x≥a x2-ax≥2a2.

②
由①得

x＜a x2-ax+2a2≤0.

x∈∅．
由②得

x≥a (x-2a)(x+a)≥0.

當(dāng)a=0時(shí)，x≥0．
當(dāng)a＞0時(shí)，

x≥a x≤2a或x≥-a

∴x≥2a．
當(dāng)a＜0時(shí)，

x≥a x≥2a或x≤-a

即x≥-a．
綜上
a≥0時(shí)，f（x）≥2a²的解集為{x|x≥2a}；
a＜0時(shí)，f（x）≥2a²的解集為{x|x≥-a}．