Question

8．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分別是AB、A₁C的中點．
（1）求證：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）若平面CMN⊥平面B₁MN，求直線AB與平面B₁MN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁，BC₁，則N∈AC₁且N為AC₁的中點，證明：MN∥BC₁，即可證明MN∥平面BB₁C₁C；
（2）以C為原點，分別以CB，CC₁，CA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面B₁MN，即可求直線AB與平面B₁MN所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接AC₁，BC₁，則N∈AC₁且N為AC₁的中點，
又∵M為AB的中點，∴MN∥BC₁，
又BC₁?平面BB₁C₁C，MN?平面BB₁C₁C，
故MN∥平面BB₁C₁C．…（4分）
（2）解：由A₁A⊥平面ABC，得AC⊥CC₁，BC⊥CC₁．
以C為原點，分別以CB，CC₁，CA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設CC₁=2λ（λ＞0），
則M（1，0，1），N（0，λ，1），B₁（2，2λ，0），$\overrightarrow{CM}=（{1，0，1}）$，$\overrightarrow{MN}$=（-1，λ，0），$\overrightarrow{N{B_1}}=（{2，λ，-1}）$．
取平面CMN的一個法向量為$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
由$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow m=0$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=0$得：$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-x+λy=0\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow m=（{λ，1，-λ}）$，
同理可得平面B₁MN的一個法向量為$\overrightarrow n=（{λ，1，3λ}）$，
∵平面CMN⊥平面B₁MN，∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n={λ^2}+1-3{λ^2}=0$，
解得$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1，\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）$，又$\overrightarrow{AB}=（{2，0，-2}）$，
設直線AB與平面B₁MN所成角為θ，則$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AB}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
所以，直線AB與平面B₁MN所成角的正弦值是$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角，考查向量方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．