Question

在1，2，…，7這7個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)．
（1）求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率；
（2）設(shè)ξ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)ξ的值是2）．求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是滿足條件的事件是至少有一個(gè)是偶數(shù)，C₇³-

C

3 4

種結(jié)果，得到概率．
（2）有可能相鄰的：123，124，125，126，127，224，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15個(gè)，不包含相鄰的數(shù)的有35-15=20，根據(jù)概率公式求解得當(dāng)變量為0時(shí)表示不包含相鄰的數(shù)P（ξ=0）=

20

35

=

4

7

，
當(dāng)變量為1時(shí)表示包含1組相鄰的數(shù)P（ξ=1）=

10

35

=

2

7

，當(dāng)變量為2時(shí)表示包含2組相鄰的數(shù)P（ξ=2）=

5

35

=

1

7

列出分布列，求解出數(shù)學(xué)期望即可．

解答： 解：：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從7個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有C₇

3

=35種結(jié)果，
滿足條件的事件是至少有一個(gè)是偶數(shù)，C₇³-

C

3 4

種結(jié)果，
記“這3個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，
∴P（A）=1-

C 3 4

C 3 7

=1-

4

35

=

31

35

，
即3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率是

31

35

．
（2））隨機(jī)變量ξ為這三個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，
從7個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有C₇³種結(jié)果，
有可能相鄰的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15個(gè)
不包含相鄰的數(shù)的有35-15=20
∵則ξ的取值為0，1，2，
當(dāng)變量為0時(shí)表示不包含相鄰的數(shù)P（ξ=0）=

20

35

=

4

7

，
當(dāng)變量為1時(shí)表示包含1組相鄰的數(shù)P（ξ=1）=

10

35

=

2

7

，
當(dāng)變量為2時(shí)表示包含2組相鄰的數(shù)P（ξ=2）=

5

35

=

1

7

隨機(jī)變量ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	4 7	2 7	1 7

其數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

4

7

+1×

2

7

+2×

1

7

=

4

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．