函數(shù)y=
3-4x+x2
的定義域為M，函數(shù)f（x）=4x-2×2x（x∈M）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當x∈M時，關于x的方程4x-2×2x=b（b∈R）有兩不等實數(shù)根，求b的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)偶次根號下要大于等于0，列出關于x的不等式，求出定義域M，再利用換元法，將f（x）=4x-2×2x（x∈M）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，即可求得答案；
（2）當x∈M時，關于x的方程4x-2×2x=b（b∈R）有兩不等實數(shù)根，y=f（x）與y=b有兩個不同的交點，利用（1）的結(jié)論，畫出圖象，即可求得b的取值范圍．
解答：解：（1）根據(jù)題意，可得3-4x+x2≥0，即x2-4x+3≥0，
∴x≤1或x≥3，
∴M={x|x≤1或x≥3}，
∵f（x）=4x-2×2x（x∈M），
令t=2x，由x≤1或x≥3，則0＜t≤2或t≥8，
∴f（t）=t2-2t=（t-1）2-1，t∈（0，2]∪[8，+∞），
∴f（t）∈[-1，0]∪[48，+∞），
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，0]∪[48，+∞）；
（2）∵當x∈M時，關于x的方程4x-2×2x=b（b∈R）有兩不等實數(shù)根，
∴y=f（x）（x∈M）與y=b有兩個不同的交點，
畫出圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得，-1＜b＜0，
故實數(shù)b的取值范圍為（-1，0）．
點評：本題考查了一元二次不等式的解法，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域及其求法，同時考查了根的存在性以及根的個數(shù)的判斷．對于根的個數(shù)的問題，一般選用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法進行解決．求函數(shù)值域時使用了換元法，要特別注意換元以后新變量的取值范圍．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當x∈[1，4]時，函數(shù)的值域為[3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)的；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]時，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）判斷函數(shù)y=3-
4
x
是否存在“和諧區(qū)間”，并說明理由；
（2）如果[m，n]是函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)的一個“和諧區(qū)間”，求n-m的最大值；
（3）有些函數(shù)有無數(shù)個“和諧區(qū)間”，如y=x，請你再舉一類（無需證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
3-4x+x2
+lg(
2+x
2-x
)的定義域為M，
（1）求M；
（2）當x∈M時，求f（x）=4x-2x+1的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=3-4x-2x2（x∈[-3，2]）的值域是
 
．

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