Question

 如圖，沿等腰直角三角形的中位線，將平面折起，使得平面平面得到四棱錐．

   （1）求證：平面平面；

   （2）過(guò)的中點(diǎn)的平面與平面平行，試求平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成多邊形的面積與三角形的面積之比。

   （3）求二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1），平面平面，

根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理得平面，

所以，又，根據(jù)線面垂直的判定定理平面，

平面，所以平面平面。

   （2）由于平面平面，故平面與平面的交線，

是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)；同理平面與平面的交線，

為的中點(diǎn)；平面的交線，為的中點(diǎn)，

連接即為平面與平面的交線，

故平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成多邊形是圖中的四邊形，

由于，故，根據(jù)（1），

由，故，即四邊形`是直角梯形。

設(shè)，則，

故四邊形的面積是，

三角形的面積是，

故平面與四棱錐各個(gè)面

的交線所圍成多邊形的面積與

三角形的面積之比為。

 

   （3）方法1．平面,，

過(guò)點(diǎn)做的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

連接，則平面，

從而，

所以即為二面角的平面角。

設(shè)，則，則，

故二面角的余弦值等于。

方法2．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解。

設(shè)，則，，，，

設(shè)為平面的法向量，

則且，

即且，

取，則，

即平面的一個(gè)法向量為，（10分）

又為平面的一個(gè)法向量，

二面角是銳二面角，故其余弦值為。